【此文在2014年山东省中小学教育科研优秀论文评选中荣获一等奖】

借课程内容与典型案例的分析探究小学数学模型思想的培养

冯旭洲

摘要：由于小学生的思维能力处于以具体运算为主并向形式运算过渡的阶段,而通过在具体情境中构建模型并应用模型的学习方式符合小学生的学习特点。因此,从广义的角度上说,绝大部分课程内容或知识点都适于开展建模活动。本文借教材和典型的教学案例对学生的建模过程和模型思想作了初步分析，以探索小学数学模型思想的培养策略。

关键词：模型思想、课程内容、案例分析

我国《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“《数学新课标》”)提出要使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验” 。这表明,我国义务教育数学课程标准已由注重“基础知识”和“基本技能”的“双基”教育目标拓展为“四基”,这在我国义务教育阶段的数学课程理念上是一大进步。新课标提出了十种数学基本素养,分别是数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。毋庸置疑,这里提到的每一种数学素养都是数学学习中至关重要的能力或思想。但数学的应用性和工具性等学科特点要求学生必须具备运用数学知识解决实际问题的思想或能力,这种思想就是模型思想,这种能力就是建模能力。所以,模型思想是最能体现数学学科价值的素质之一。与2001年数学课程标准相比,新课标增加了运算能力、几何直观、模型思想、创新意识等素质成分。由此可以看出,我国开始重视在数学教学中培养学生的模型思想和建模能力。

课程内容是课程思想的载体,小学数学模型思想最终体现在数学课程内容以及与课程内容相关的典型案例的实施过程中。在数学教学中,学生能否成功地建构数学模型在很大程度上取决于课程内容的呈现方式。因此,研究模型思想离不开对数学课程内容的分析。

下面,本研究尝试从小学数学课程内容和典型案例两个方面对小学数学模型及模型思想作具体分析,目的有三个:第一,探索小学数学课程内容是否适于进行模型教学；第二,探索哪些课程内容可抽象为数学模型；第三,初步探索小学数学建模的方法。

一、小学数学模型的课程内容分析

“课程内容”是指数学课程标准中的内容标准和数学教材中教师常规教授的内容。课程内容来自两个方面：《数学新课标》中的课程内容标准和我国现行的人教版小学数学教材(以4～6年级为主)。小学数学的课程内容分为四大版块:数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。

我国小学阶段由两个学段组成:第一学段(1～3年级)和第二学段(4～6年级)。这两个学段的数学课程内容在编排上逐级递进、螺旋上升。基于对《数学课程标准》中内容标准的分析,总结出各个学段中可抽象为数学模型的课程内容,如表1、表2所示：

下面从数与代数、图形与几何、统计与概率三个知识领域对数学模型思想作具体分析。

1.数与代数

（1）数的认识与表示。小学生学习数学是从对数的认识开始的。用数字表示事物的个数是最初级、最原始的模型思想方法，它表明学生开始尝试从现实生活中的实物抽象出数字的概念,并对其进行表征。小学生认识数从自然数始，进而过渡到整数、奇数、偶数、质数、合数等。使学生从不同特性的整数中发现数字的规律，有助于培养学生学习数学的兴趣。在对数的认识中，小数、分数、百分数、负数是难点。教师在教学中应结合日常生活中的具体情境，并用图形、图像等教学手段，使学生对小数、分数、百分数和负数有直观的认识。在小学高年级阶段，学生开始学习用字母表示数。用符号表示数是代数学的本质，也是代数学最基本的模型。

当学生掌握了用符号表示数的方法时,表明学生已经具备了初步的逻辑思维能力，它为学生列方程、解方程以及在更高教育阶段学习函数奠定基础。在小学阶段已经开始学习一元一次方程，如：ax+b=c、ax-b=c，但它是和学生能够理解的日常生活情境相联系的。

（2）数的运算。十进制计数法是表示整数的基本模型。在整数的运算中，学生要掌握整数四则单项运算及混合运算的方法。整数四则运算律是数学运算的基本模型，具体有加法交换律“a+b=b+a”、加法结合律“a+b+c=a+(b+c)”、乘法交换律“axb=bxa”、乘法结合律 “axbxc=ax(bxc)”、乘法分配率 “ax(b+c)=axb+axc”。在四则运算中，加与减、乘与除是互逆的，这正体现了数学结构的可逆性。小数和分数的运算也符合十进制计数法。

（3）数量关系。在小学阶段,学生需要掌握一些常见的数量关系，如:总价=单价×数量、路程=速度×时间等。在小学六年级,学生开始学习成正、反比例的量和正、反比例关系，它们用式子分别表示为=k和x×y=k (其中k是定值)。用表格和图像可以更直观地表示数量关系，在有未知数的情况下，实际上它涉及的是一元一次函数模型。在进行数量关系的运算过程中，学生还需掌握一些常见的量及其换算关系，如：“元、角、分”、“时、分、秒”、“克、千克、吨”等。这些常见的量是表示数量单位的模型，它在现实生活中应用广泛。 2.图形与几何

（1）图形的认识。整个小学阶段:学生学习线的类型有线段、射线和直线；学习两条直线的关系有平行和相交；学习的角有直角、锐角、钝角、周角、平角；学习的平面几何图形有长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆、梯形、扇形；学习的三角形类型有等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；学习的几何体有长方体、正方体、圆柱和圆锥。这些几何图形按照由简单到复杂的顺序呈现并符合“螺旋上升”式的课程编排原则。点、线、面是平面几何图形的基本模型,学生对几何体的认识要由从不同的位置观察物体开始,以培养学生的空间观念。

（2）测量。测量的对象主要有几何图形的周长、面积和体积。从对生活中的几何原型的测量中,学生逐渐掌握几何图形的周长、面积和体积公式:长方形的面积：S=ab；正方形的面积：S=a2；三角形的面积：S=ah；平行四边形的面积S=ah；梯形的面积：S= (a+b)h；圆的周长s=2πR；圆的面积：s=πR²；长方体的体积：V=abh；正方形的体积：V=a3；圆柱的面积：V=sh；圆锥的体积：S=sh。在计算几何量的同时,学生也掌握了一些常见的度量单位,如米、米2、米3。这些几何图形的计算公式建立在学生已经理解用字母表示数的基础上,它是学生进行几何运算和解决实际问题的数学模型。

（3）图形的运动和位置。平移和旋转是几何图形的两种基本运动形式。掌握平移和旋转对于学生建立空间观念,掌握变换的数学思想方法有很大的作用。教学平移和旋转应从大量感性、直观的生活实例入手,让学生在生活经验的基础上感知平移和旋转的运动特征。结合方格纸教具,平移和旋转也为学习和推导基本平面图形面积的计算公式等几何知识作铺垫。轴对称是几何图形的基本性质之一,对称轴是分析平移和旋转的参照工具,轴对称是学生进一步学习和掌握几何图形其他特性的基础,同时学习轴对称也可以引导学生发现数学的美。图形的位置模型实际上是坐标轴,学生借助坐标轴,辨别东、西、南、北及东北、西北、东南、西南八个基本方位。在小学高年级,学习在方格纸上用数对表示位置,这实际上是解析几何的模型。

3.统计与概率

统计与概率在小学阶段涉及的课程内容分量较少,它主要涉及的是统计学和概率学的初级知识,它为高中阶段专门学习统计与概率奠定基础。统计与概率分为数据统计和随机现象发生的可能性两个部分。数据统计包括数据的收集、整理、分析和表示。为了更直观地表示数据,学生需学会认识各种统计图表,统计图表是表示数据分布情况的模型。学生还要学会计算一些基本的统计量模型,如平均数、中位数、众数,并理解这些统计量表示的意义。学习统计的最终目的是对数据分布的趋势及其表示的意义作出判断和预测。学生学习概率知识也应该从日常生活的随机现象开始。学生通过实例感知简单的随机现象,认识到事物发生的可能性是有大小的并且是可以计算的。

. 二、小学数学模型的典型案例分析

针对数学知识的抽象性和小学生的认知特点,小学数学无论是在课程内容的常规教学中还是在拓展性练习中,都渗透了建构模型、求解模型的思想方法。体现小学数学模型思想的案例有多方面的来源。从教材内容中,我们可以发现很多设计巧妙的模型教学实例。综合与实践也是小学数学的课程内容之一,它能体现学生应用数学知识解决数学问题的能力,因而综合与实践领域里的教学活动也能反映数学中的模型思想。每一册数学教材中都有“数学广角”部分,它是学生问题解决能力的最好展现,因而是我们分析模型思想的重要来源。

案例一:解简易方程

方程是代数学中的重要内容,它建立在学生理解用字母表示数的基础上。方程的定义是含有未知数的等式,那么如何用直观的方式让学生建构起这样的等式呢?小学五年级上册在学习方程时借助了天平这一工具,它适用于测量、方程、不等式、最优策略模型(如“找次品”问题等知识领域）。

例:在一个天平的左边放一个空杯子,天平的右边放一个lOOg的砝码,天平正好平衡。再将杯子倒满水,天平的右边加一个lOOg的砝码和一个50g的砝码,天平也正好平衡,问:一杯水有多重?

假定水的重量是xg,那么可以列出一个含有未知数的等式:100+x=250。这样就能求出水的重量是150g 了。

分析:天平从本质上说是表示等量关系的“直观模型”,如果教师能为学生提供这些工具,学生就能亲身演示这样的操作,这对于学生理解方程的思想是很有帮助的。通过借助“直观模型”,学生构建出了方程的符号模型,这种符号模型逐渐内化为固定的数学结构,它为学生以后脱离具体实物求解方程及学习函数打下坚实的基础。

案例二:“鸡兔同笼”问题

“鸡兔同笼”问题是数学中的经典案例,它出自于我国古代数学名著《孙子算经》。“鸡兔同笼”问题直接体现了假设和方程的思想,由于它的代表性和可拓展性,所以它所涉及的算法也是数学中的一个经典模型。小学五年级上册的练习和六年级上册的“数学广角”中都有“鸡兔同笼”这一问题。例:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问:鸡和兔各有几只?

解法1:列方程

设有X只兔,那么就有(35-x)只鸡。鸡和兔共有94只脚,就是:

4x+2(35-x)=94

2x+70=94

x=l2

35-12=23 (只)

答:兔有12只,鸡有23只。

解法2:假设法

实际上古人就是用假设的方法解决这个问题的,现在我们用更形象的假设法来帮助学生快速得出结果。

（1）假设鸡和兔都是训练有素的,吹一声哨子,鸡和兔各抬起一只脚,这时还有94-35=59只脚；

(2)吹第二声哨子,鸡和兔又各抬起一只脚,这时还有59-35=24只脚,但这些脚都是兔子的,每只兔子两只脚,因为鸡已经“没有”脚了,全部站在了地上；

(3)兔子的个数就是24+2=12只,鸡的个数是35-12=23只。

分析:用列方程的方法解这道题是比较常规的方法,因为这道题本身蕴涵的就是方程思想,即一元一次方程甚至是二元一次方程组(鸡和兔都是未知数)。用假设的方法解题,对于处于形象表征阶段的学生来说无疑是有助于学生理解问题的一种方法。此外,在涉及数量不大的情况下,教师还可引导学生使用列表尝试的方法。如果鸡和兔共有7个头,22只脚,那么可列表如下

通过列表尝试,学生很容易得出鸡有3只,兔有4只。列表法是发现规律的一条重要途径。无论釆用何种方法,得出“鸡兔同笼”问题的算法规则是最关键的,因为这种算法规则是一种数学模型,它可以迁移到其他大量相似问题的解决中。

案例三:“烙饼问题”

小学四年级上册“数学广角”中专题探讨了如何使时间分配最优化以提高效率的问题。

例1:妈妈每次只能烙两张饼,两面都要烙,每面3分钟。爸爸、妈妈和我每人一张,怎样才能尽快吃上饼?如果一张一张地烙,烙一张饼要6分钟,恪3张饼则要18分钟,这样未免太费时间了。如果先同时烙两张,再烙一张,这样就只需要12分钟,省了 6分钟。

例2:小明、小亮、小叶同时来到学校医务室,医生每次只能给一个人看病。小明看病需5分钟,小亮看病需3分钟,小叶看病需1分钟。怎样安排他们的就诊顺序使三人等候的时间最少?

学生可以釆用按顺序逐个尝试的方法,算出每种顺序的情况下各需要多长时间。其中,如果按小明、小亮、小叶这样的顺序,三人共需等候13分钟,这是最长的等候时间；如果按小叶、小亮、小明这样的顺序,三人共需等候5分钟,这就是最短的等候时间。

分析:“烙饼问题”或类似的时间分配问题实质上是数学中的对策论模型。我国古代就有非常经典的对策论模型,如“田忌赛马”。对策论模型解决的问题是如何用最少的时间或最高的效率完成任务。“烙饼问题”让学生发现不同的策略情况下完成任务所需的时间是不同的；“安排就诊顺序问题”让学生明白不同的安排顺序情况下完成任务所需的时间也是不同的。对策论模型对于激发学生探索的兴趣,养成效率意识具有重要意义。

三、小学数学模型思想的培养策略

“学会用数学的思想和方法来观察周围的社会生活,来解决日常生活中的问题,同时能用数学的语言表达和交流自己的想法、过程和结果,这已经成为数学素养的一个重要内涵”。重视数学的思想和方法是当今世界范围内小学数学课程改革的一个基本方向。模型思想是小学数学学习的基本素质之一。从宏观上讲,构建数学模型的过程就是将现实生活或问题情境“数学化”的过程,“数学化”就是用数学的眼光认识和处理周围的事物或数学问题,这是数学学习的最高境界,也是学生数学素养的基本要求。数学模型思想体现在数学学习的方方面面,包括数学课程内容、教学实例以及学生的数学探究活动。可以说,模型思想是其他数学思想和方法的基础。小学生的思维处于以具体运算为主并向形式运算过渡的阶段,这种认知水平的特点是儿童能够在同具体事物相联系的情况下进行逻辑运算。模型思想的本质是从具体情境中抽象出数学关系,而且模型教学的初始阶段就是创设问题情境。因此,模型思想及模型教学符合学生的认知水平,同时学生的认知水平也要求釆用模型教学的方式,模型思想与小学生的认知水平和学习特点存在“天然的契合点”,在小学阶段培养学生的模型思想是可行的,而且是必要的。模型教学的特殊性决定了模型教学方式在小学数学教学中占据十分重要的地位。尽管模型思想在小学阶段不是学生重点训练的素质要求,但在数学教学中有意识渗透模型思想是非常有必要的。在小学阶段培养学生建立初步的模型思想和相应的建模能力,对于提高学生学习数学的兴趣和应用意识,深化小学数学课程改革,全面提高教育质量具有重要意义。下面,提出几条小学数学模型思想的培养策略。

(一)重视数学问题情境的创设

新课标强调在小学阶段的数学教学中应结合具体情境,在具体情境中认识数学的基本概念。数学模型思想的本质是从现实数学问题或现象中抽象出普适性的数学模型,进而应用数学模型解决实际问题。正如前文所分析的那样,小学数学绝大部分课程内容可用构建数学模型的方式进行教学。因此,教师在数学教学中应有意识为学生创设问题的情境。创设情境对教师的素质提出了较高的要求,创设情境是否合理,关系到模型构建的成败。良好的问题情境必须满足以下两个条件:

第一,与学生的生活经验密切相关。由于学生认知思维的形象性,小学数学教学应充分利用学生的生活经验及生活环境。联系并符合学生生活实际的问题情境,一方面学生较为熟悉,另一方面便于学生理解。数学知识归根到底是“从生活中来”的,从最简单的自然数到复杂的函数关系,都可以在生活中找到它们的原型。因此,创设问题情境实际上就是将数学模型“还原”的过程。

第二,有利于学生发现问题。问题情境不是随意化的、无目的的现场观察或生活片段,而是蕴藏一定的结构。认知心理学认为,一个问题包括三个部分:已知条件、目标和算法。已知条件是组成问题初始状态的要求或限制因素。目标是想要得到的结果或答案,算法是把问题的初始状态转变为目标状态的步骤或程序。教师为学生创设的情境必须有利于激发学生的好奇心和探究意识,并且在教师的引导下有利于学生提出假设,最终形成有价值的问题。从创设情境到提出假设性的问题,这是构建数学模型最为关键的环节,小学数学教师必须具备这种教学思想。

(二)重视教学辅助工具的运用

学生在构建数学模型的过程中运用的表征方式主要有符号表征、列表表征和图解表征。其中,符号表征是最常用也是最基本的表征方式,数学模型最终要以符号的形式固定下来。确立符号模型需要运用多种辅助教学工具。基于前面的分析,笔者总结出以下两种教学辅助工具:第一,列表、图形、图像。列表表征和图解表征有利于学生理解问题的情境,探究问题中隐含的数学关系。在确立符号模型的过程中需要发挥其他表征方式的辅助作用。(1)列表法是探索问题答案的有效途径。列表常用于对多种解题假设的尝试,虽然列表法比较费时,但它便于直接得出问题的答案。(2)图形法是分析几何关系的直观工具。小学阶段学习的几何知识主要是平面几何,其中,矩形和三角形是两种基本儿何图形。学生学习其他复杂的几何图形时都可以还原为三角形和矩形。新课标强调学生要掌握图形与位置的关系,这足在高年级学习立体几何的基础,同时也培养了学生的空间想象能力。在解决特定的几何问题时,教师需将问题情境转化为几何图形并呈现出来,这样学生就更容品联想已学习的几何知识,如“确定起跑线”问题。(3)图像法是发现数量关系的基本手段。学生在学习数学中认识的图像主要是坐标系,坐标系不仅是分析位置关系的参照体系,也是认识函数关系的基本工具。六年级学习的正反比例关系实际上就是一次函数的基本模型,学生需初理论到实践步掌握用图像表示函数关系的方法。

第二,实物教具。实物教具也是帮助学生构建数学模型的有效教学手段。实物教具本质上是反映问题要素基本特征的“直观模型”。因此,在教学资源充足的情况下,教师应尽量使用多种教学工具辅助构建数学模型。人教版小学数学教材中的教学内容使用了多种实物教具。如:方格纸和直尺有助于学生理解分数和小数,图形的平移、旋转和轴对称知识;天平有助于学生建构简易方程和解决按重量不等“找次品”的问题。

(三)重视对课程内容的研究

本研究以人教版小学数学教材为例,对教材中的内容、习题、案例做了大量的分析和研究。这里的教材“内容”特指每单元或每节课常规教学的课程知识。课程知识只是客观的教学内容,而如何更好地让学生理解和应用数学知识就需要发挥教师的主观能动性。教师应当花费较多的精力去研究如何以更好的模型教学方式提高教学的效率和效果。教师首先要对课程内容和习题是否适合于模型教学及如何进行模型教学作充分的研究。从对课程内容的分析来看,小学数学绝大部分课程内容可理解为数学模型,并渗透了模型思想。对课程内容的研究是教师进行模型教学的准备工作,也是教师教学设计的基本任务。教师研究的课程内容包括教材中的常规教学知识、课程标准中的内容标准、拓展性课程资源等。教师研究课程内容的方式主要有以下几点:

1.分析课程内容是否适合于模型教学。教师首先需熟悉数学教材中的知识点和课程标准中的内容要求,然后总结和整理包含数学模型的知识和活动。教师要能够识别并揭示知识的数学实质及其体现的模型思想,同时要对学生的认知水平和认知方式有准确的把握。教材的编排在整体上上应体现逐级递进、螺旋上升的原则,即课程目标和内容既要有随着学生的年龄和认知水平的增长而逐步提升的空间,又要有相对稳定的学习对象及过渡性要求。教师应将课程内容与学生的认知特点相结合,针对不同阶段的学生釆用不同的模型教学方式。

2.分析教材中知识的呈现方式。人教版数学教材在知识的呈现方式上比较符合学生的认知规律,即体现出从现实生活中的问题情境到抽象出数学符号的过程,这一过程与建模教学的过程模式是相吻合的。教师应从教材知识的呈现方式中学习和借鉴其中的模型思想和方法,并尝试模仿教材中的知识呈现方式进行模型教学。

3.利用教材中适合于模型教学的拓展性课程资源。数学教材中除了常规教学的知识以外,还有大量的拓展性课程资源,这些课程资源有的是学生自主学习和探究的内容或活动,有的是在教师的引导下实施的综合与实践活动。其中,某些课程资源包含了数学模型,需要教师加以利用。以人教版小学数学教材为例:首先,教材中渗透了数学文化。数学文化是数学教材的组成部分。教材中选取的数学文化有利于学生了解数学的发展史,理解相关的背景知识,发现数学知识在生活中的应用。数学文化对于激发学生的学习兴趣,培养“数学家式”的探索精神,欣赏数学的美具有重要意义。例如:“鸡兔同笼”问题出自我国古代的《孙子算经》;圆周率和勾股定理的表述和证明最早出现在我国古代的《周牌算经》中;《九章算术》是我国最早记载负数的表示方法并论述平面图形计算方法的数学名著;数学家笛卡尔最早提出用X、Y、Z等字母表示未知数;欧几里德的《几何原本》是现代数学的基础;黄金比例(0.618: 1)能够给人一种优美的视觉感受;等等。有些数学文化渗透了模型思想,教师不能因为这些内容不是正式的教学知识而忽视了对其的介绍和讲解,而应该引导学生探究其中的数学规律和数学之美。其次,教材中有探究性质的数学问题、活动和游戏渗透了模型思想。①教材中的“数学广角”版块体现了模型思想。人教版教材中每册都有“数学广角”版块,每一个“数学广角”是一个主题活动,重在考查学生的数学思考及问题解决能力。前面的教学案例分析中提到几个活动主题如“烙饼问题”、“间隔植树”问题、“鸡兔同笼”问题等都体现了模型思想。②教材中与教学内容相关的数学探究活动体现了模型思想。如五年级上册中“量-量,找规律”探究活动体现了方程模型;六年级上册“确定起跑线”探究活动实质上是同心圆周长差的数学模型;六年级下册“自行车里的数学”探究活动体现的足比例关系模型。③教材中有些“阅读资料”、数学游戏体现了模型思想。如六年级下册在“阅读资料”中介绍了从兔子生产规律中抽象出的“斐波那契数列”模型;概率知识模型适宜于采用游戏的方式让学生体验某种现象发生可能性的大小。

4.自主开发优质高效的模型教学方式。研究和学习教材中知识的呈现方式只是教师教学设计的初步任务,在此基础上自主开发优质高效的模型教学方式式才能真正体现出教师的教学技能。首先,对于教材中渗透模型思想的课程内容和探究活动,教师应严格贯彻实施教学;其次,在借鉴和模仿的基础上,教师应选择或开发教学实例,创造性地采用新的模型教学方式,引导学生建立模型和求解模型。优质高效的模型教学方式能够大幅度提高教学效果,教师应加强这方面的训练。

(四)重视采用自主、合作与探究的学习方式

义务教育新课标强调在各科教学屮倡导自主、合作、探究的学习方式,这是新课改实施素质教育的必然要求。长期以来,我国的教学方式以教师课堂讲授知识为“学会用数学的思想和方法来观察周围的社会生活,来解决日常生活中的问题,同时能用数学的语言表达和交流自己的想法、过程和结果,这已经成为数学素养的一个重要内涵”。长期以来,我国的教学方式以教师课堂讲授知识为主,将学生视为被动接受知识的“容器”。这种学习方式忽视了学生的主动性,不利于培养学生的创新精神和实践能力。基础教育课程改革着力强调转变学习方式,要求发挥教师的主导作用,使学生成为学习的主体。自主、合作与探究是真正以学生为主体的学习方式,它有利于学生在自主探索、合作交流中掌握学科的基础知识,形成学科的基本技能,体验知识的发现过程,增强问题解决的能力。

所谓自主学习,是指学生“在教师的指导下,根据自身条件和需要制定并完成具体学习目标的学习模式”。自主学习突出了学生的主动性,使学生摆脱了被动接受的地位,它常表现为学生自定目标、自主探索、自我评价和自我调整。所谓合作学习,是指学生在集体中以分工和交流的形式进行的学习方式。合作学习有助于增强学生的合作意识和交往能力。所谓探究学习,是指学生在真实的问题情境中,通过提出假设、验证假设的探索性活动,感受和体验知识产生过程的一种学习方式。探究学习有助于提高学生分析问题和解决问题的实践能力。自主、合作、探究三种学习方式是相辅相成的。“自主学习、独立思考是合作探究的基础;合作探究是自主学习、独立思考的展示、交流、互补、吸收与接纳的过程”。从某种程度上说,探究学习集成了主学习与合作学习。

小学数学模型教学应采用自主、合作、探究的学习方式。首先,教师主导,学生主体。教师不应直接讲解数学知识隐含的数学模型,而应从问题情境出发,逐渐引导学生构建数学模型,整个教学过程始终以学生的自主探索为主。其次,小组学习,分工合作。小组学习是提高教学效果的重要途径。依靠学生个体的思维往往不能完成对复杂数学问题的分析,而采用小组学习的方式就能够大大提高问题解决的效率。在问题的表征阶段,学生通过小组讨论,发现彼此思考问题的角度、优点和不足,在集思广益的基础取得对问题一致的理解,进而并同提出问题的假设;在模型的建立和求解阶段,学生通过分工合作,共同探索问题的关系和规律。合作学习不仅包括学生之间的合作,也包括教师与学生之间的合作。教师与学生的合作主要表现在:教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动,教师与学生在共同探索问题的过稅中-j起分享成功与摊折的学习体验。第二,创设情境,探究发现。探究学习的甜提足教师为学生创设真实的问题情境。教师在创设情境之后,逐步启发学生思考,引导学生自己提出有价值的问题,进而发现问题的规律或模型。可以认为,探究学习类似于布鲁纳提出的“科学家式”的发现学习。

(五)重视采用多元化和多样化的评价形式

课程评价是任何学科教学不容回避的一个环节,也是我国基础教育阶段课程与教学中出现“弊病”的一个领域。长期以来,我国基础教育课程评价:在评价目的上强调评价的甄选功能;在评价内容上注重学生对文本知识的掌握;在评价方式上偏重总结性评价;在评价手段上以纸笔测验为主;在评价主体上以教师“独大”。这种评价形式严重阻碍了我国基础教育的良性发展。2001年,我国《基础教育课程改革纲要(试行)》中开始明确提出对课程评价的改革意见,即“改变课程评价过分强调甄别与选拔的功能,发挥评价促进学生发展、教师提高和改进教学实践的功能”。2011年,《数学新课标》再次详细提出了数学课程评价的实施建议。

在构建数学模型的过程中培养学生的模型思想,这种教学方式明显不同于教师的知识讲授、学生的机械接受,因而它需要变革传统的课程评价形式,使课程评价呈现多元化和多样化。具体来说,有以下几点评价策略:

1.在评价目的和评价内容上突出学生学习数学的过程与方法、情感与态度。这正是三维教学目标的体现。模型教学的目的并不是教授给学生一定的数学知识并使学生机械记忆知识,而是让学生体验发现数学知识本质和规律的过程,并且在这一过程中培养学生的数学思维能力。如通过成长记录的方式,使学生记录和反思学习数学的过程。此外,对情感和态度的培养也是小学数学教学中努力侶导的课程目标。小学数学教学应激发学屯形成积极的数学情感,塑造健康向上的学习态度。如学习数学的兴趣和信心、克服困难的勇气、与同伴和老师的合作与交流等等。

2.在评价方式和评价手段上突出形成性评价和表现性评价。传统的纸笔测验或单一的总结性评价已不能适应现代教育对学生素质考查的要求,应釆用多样化的评价方式,凸显对学生学习过程的考查。传统的总结性评价只能以书而测验的方式考查学生在一段时期之后对知识的掌握情况,不能反映学生学习的过程性素质。形成性评价和表现性评价就是区别于总结性评价的评价方式,它强调对学生学习过程中能力表现和思想方法的评价。形成性评价和表现性评价的H的都是促进学生的发展,而不是过分强调甄别与选拔。其中,表现性评价建立在科学、具体、可操作的学科能力表现标准的基础之上,“高质量的表现标准为评价提供了更直接、更具体的依据”。具体来说,教师可采用课堂观察、课后访谈、口头测验、活动报告、成长记录等形式考查学生在数学探究活动屮表现出的模型思想和建模能力。

3.在评价主体上突出多元主体共同参与。现代课程评价理念认为,教师不是唯一的评价主体,事实上,与学生的学习行为密切相关的个体或群体都可以作为评价者,课程评价应改变教师作为评价者的“独大”局面,让更多的评价主体参与到对学生的评价中,这就是评价主体的多元化。多元化的评价主体包括学生的自我评价、学生间相互评价、家长评价、校长评价、社区人士评价等等。其中,学生的自我评价和相互评价是我国课程改革积极尝试的一种评价形式。如在一个单元学习结束时,教师引导学生用图表、卡片等形式设计一个自我“学习小结”,或者在小组活动结束后设计“成果展示与交流”环节,考查学生对学习内容的掌握情况和学习过程的参与程度以及学生间的合作交流意识。学生的自我评价和相互评价有利于学生反思自身的不足,发现别人值得借鉴的经验,提高学生参与学习活动的意识和能力。总之,这种评价方式能够真实反映学生的学习情况。模型教学一般以探究活动的方式呈现,在活动过程中要求学生分工与合作,有时需在校外开展活动,因而在评价时就需要多元主体共同参与评价。